[프로그래머스 스쿨 AI] Weak 2 벡터와 직교분해

1. 벡터의 표현

좌표계 없이 표현

V : 화살표로 표현

V의 크기 : 길이

V의 방향 : 방향

 

$u \cdot v = \left \| u \right \||\left \| V \right \| cos \theta$

 

좌표계를 도입하여 표현

방향 :  길이는 1일때 그것이 방향이 된다 (백터($x^2,y^2$)들의 합 = 전체길이)

 

$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots  + u_1v_1  $

 

 

공식은

 

벡터의 크기와 방향 복습 (개념 이해하기) | 벡터 | Khan Academy

좌표 벡터에 대한 사이트이다

 

직교할 경우

$u \cdot v = 0 \Leftrightarrow  u\perp v$

2. 투영

두 벡터 u, a가 있을 때, 벡터 u를 위에 투영한 벡터를 $proj_au$라 하고 다음과 같이 구한다.

$proj_au = \left ( \frac{u\cdot a}{\left \| a \right \|} \right )  \left ( \frac{1}{\left \| a \right \|}a \right )  = \left ( \frac{u\cdot a}{\left \| a \right \|^2} \right ) a$

 

 

 

(용어:$proj_au$ = a를 x축으로 만든것이라고부른다

||v|| = $\sqrt{v_0^2+v_1^2+v_2^2  + \cdots +v_n^2}$)

이걸 참고하면 좀더 편하게 이해가 된다

 

 

3. 직교행열

1. 직교 행렬( orthogonal matrix)

 $\begin{bmatrix}1 & 4\\ -2 & 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2 & 2 & -4\\ 2 & 1 &  7\\ 6 & -1 & -1\end{bmatrix}$

2. 정규 직교해렬( orhonormal matrix)

$\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}}\\ 
-\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{11}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{4}{\sqrt{66}}\\ 
\frac{1}{\sqrt{11}} & \frac{1}{\sqrt{6}} &  \frac{7}{\sqrt{66}}\\ 
\frac{3}{\sqrt{11}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{66}}
\end{bmatrix}$

 

계산 한걸 확인해보자

$x_i = \frac{b \cdot a_i}{\left \| a_i \right \|^2}$

 

일떄

 

$\begin{bmatrix}1 & 4\\ -2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\ -2\end{bmatrix} $

를 대입해보면

$
\begin{bmatrix}1 \\ -2  \end{bmatrix} x_1 + \begin{bmatrix} 4 \\ 
 2 \end{bmatrix} x_2 = \begin{bmatrix}6\\ -2\end{bmatrix} 
$

$\frac{\begin{bmatrix}6 \\-2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}}{1^2 +(-2)^2}
= \frac{6\times 1+(-2)\times (-2)}{5}
\\x_1 = \frac{10}{5} $

 

$\frac{\begin{bmatrix}6 \\-2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4\\ 2\end{bmatrix}}{4^2 +(2)^2}
= \frac{6\times 4+(-2)\times (2)}{20}
\\x_2 = \frac{20}{20}$

 

역행열을 구하지 않고 바로 계산이 가능하다